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Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind bekannt {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}
Man kann die natürlichen Zahlen nach bestimmten Eigenschaften untersuchen.

Etwa die geraden natürlichen Zahlen {2,4,6,8,10,12,...} Diese kann man beschreiben durch a=2.b (eine gerade Zahl ist das doppelte einer anderen natürlichen Zahl). 

Oder die ungeraden natürlichen Zahlen {1,3,5,7,9,11,...} Diese kann man beschreiben durch a=2.b+1 (eine ungerade Zahl ist das doppelte einer natürlichen Zahl plus 1) sowie die Zahl 1 selbst.
 
Dann kann man Aussagen machen:
Die Multiplikation zweier gerader natürlicher Zahlen ist wieder eine gerade Zahl.
Beweis: Man bezeichne die beiden gegebenen geraden Zahlen mit a und e. Dann gibt es andere natürliche Zahlen b und f mit a=2.b und e=2.f, dann a.e=2.b.2.f und weil b.2.f eine natürliche Zahl ist und das doppelte davon a.e ist so ist a.e eine gerade Zahl.

Die Multiplikation zweier ungerader natürlicher Zahlen ist wieder eine ungerade Zahl
Beweis: Man bezeichne die beiden gegebenen ungeraden Zahlen mit a und e. Dann gibt es andere natürliche Zahlen b und f mit a=2.b+1 und e=2.f+1, dann a.e=(2b+1).(2f+1)=2(b.2.f+f+b)+1 und weil (b.2.f+f+b) eine natürliche Zahl ist und das doppelte davon +1 das Produkt a.e ist, so ist a.e eine ungerade Zahl.

Oder es gibt natürliche Zahlen mit
3+4=5
6+8=10
5+12=13
usw.
Dies erinnert sofort an den Satz des Pythagoras und man kann daher eine Schnur markieren mit zunächst 3 Einheiten, anschießend 4 Einheiten, anschließend 5 Einheiten. Hält man dann an den Übergangsstellen fest und zieht ein Dreieck auf, so kann man dadurch mit einfachen Mitteln einen rechten Winkel erzeugen.

Oder die natürlichen Zahlen in Faktorzerlegung aufschreiben
2=2.1
3=3.1
4=2.2.1
5=5.1
6=3.2.1
7=7.1
8=2.2.2.1
9=3.3.1
usw.
Zahlen die nur als Produkt von sich selbst und 1 dargestellt werden können heißen Primzahlen. Und Primzahlen spielen die entscheidende Rolle bei der Daten-Verschlüsselung im Internet.

Aber eine Gleichung
2.a=1
läßt sich im Rahmen der natürlichen Zahlen nicht lösen. Also erweitert man die Zahlen durch Brüche. Ein Bruch hat die Form a/b wobei a und b natürliche Zahlen sind und man kann diese Bruch-Zahlen auch als Komma-Zahlen aufschreiben. Damit kann man die Verhältnisse bei Strahlensatz und Dreisatz gut bearbeiten. Jeder Taschenrechner und jeder Computer arbeitet alleine mit Bruch-Zahlen und jede auf Papier aufschreibbare Zahl ist eine Bruch-Zahl. Zwischen zwei Bruch-Zahlen kann man beliebig viele weitere Brüche erzeugen. Und man kann sich fragen ob es denn zwischen den beliebig dicht gepackten Brüchen nicht doch noch Lücken gibt, also Zahlen die nicht durch einen Bruch dargestellt werden können. Die Entdeckung daß es solche Lücken-Zahlen gibt hat in der Geschichte ein ganzes Weltbild ins wanken gebracht. Und man kann sogar sagen: es gibt mehr Lücken-Zahlen als es Bruch-Zahlen gibt. Ein einfaches Beispiel ist die Lösung der Gleichung
x=2
Angenommen das gesuchte x ist ein Bruch, also darstellbar durch n/m mit natürlichen Zahlen m und n die man als teilerfremd annehmen kann (denn sonst kürzt man diese ganz fix). Dann folgt durch Quadrieren
n.n=2.m.m
Also ist n.n eine gerade Zahl. Und nach obiger Betrachtung über gerade Zahlen muß auch n eine gerade Zahl sein (wenn n ungerade wäre so wäre auch n.n ungerade). Also gibt es eine natürliche Zahl g mit n=2.g und damit
2.g.g=m.m
Das heißt aber wiederum daß m.m eine gerade Zahl ist und somit auch m eine gerade Zahl ist (wenn m ungerade wäre so wäre auch m.m ungerade)
Damit wäre n/m nicht teilerfremd, sondern durch 2 zu kürzen. Also kann es einen solchen Bruch als Lösung von x=2 nicht geben.

Aber man kann sich der Lösung annähern und zwar beliebig genau. Man gibt dieser Lösung einen Namen . Multipliziert man diese neue Zahl mit irgendeiner Bruch-Zahl (rationale Zahl) so ist das Ergebnis keine Bruch-Zahl (rationale Zahl) mehr. Also gibt es schon unendlich viele Lücken-Zahlen (irrationale Zahlen). Daher benutzt man einen neuen Zahlenbegriff: positive reelle Zahlen sind durch positive Bruch-Zahlen beliebig genau berechenbar. Damit hat man alle Lücken-Zahlen (irrationale Zahlen) und alle Bruch-Zahlen (rationale Zahlen) zusammengefaßt: positive reelle Zahlen.
Man kann sich y=x im Schaubild ansehen


Es gibt eine eindeutige Zuordnung von einer auf der y-Achse ausgewählten Zahl zu der entsprechenden Zahl auf der x-Achse im Bereich der positiven reellen Zahlen. Dieser Zuordnung gibt man die Bezeichnung Wurzel  
und soll auf dieser Seite generell als blaue Wurzel geschrieben werden. 

Nun kann man Zahlen betrachten in der Form
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
0,0000001
usw...
Diese Zahlen erlauben die beliebig genaue Berechnung einer Zahl die es hier auf dieser Seite noch nicht gibt, eine beliebig kleine Zahl. Dieser ist die Bezeichnung 0 gegeben worden. 0 kann beliebig genau berechnet werden und ist folglich eine reelle Zahl. Welche Eigenschaften hat diese Zahl:
Addiert man zu irgendeiner Zahl a eine beliebig kleine Zahl so erhält man eine beliebig genaue Berechnung von der Zahl a selbst, also
a+0=a
Multipliziert man irgendeine Zahl a mit einer beliebig kleinen Zahl so wird auch dieses Produkt beliebig klein, also
a.0=0
Bei der Division einer Zahl a erhält man aber
a:0,1=10.a
a:0,01=100.a
a:0,001=1000.a
usw...
Die Zahl explodiert also und wächst über alle bekannten Grenzen. Es gibt kein sinnvolles Ergebnis für das Teilen durch 0. Daher wird das Teilen durch 0 verboten. 

Aber eine Gleichung
2+a=0
läßt sich im Rahmen der positiven reellen Zahlen nicht lösen. Also erweitert man die bisherigen positiven Zahlen durch die negativen reellen Zahlen, die die Beziehung
a+(-a)=0
erfüllen. Damit hat man die normalerweise bekannten reellen Zahlen mit ihren Rechenregeln.Z.B.

 

4-4=4-4  

dann auf der linken Seite 2 ausklammern

2(2-2)=4-4  dann auf der rechten Seite verwenden (a+b)(a-b)=a-b
2(2-2)=(2-2)(2+2) dann teilen durch (2-2) ergibt
2=(2+2)=4

 

Hier ist die Regel verletzt worden daß das Teilen durch 0 verboten ist. 
Ein Nicht-Beachten dieser Regel führt zu Widersprüchen.
Es ist immer zu prüfen ob der Teiler nicht 0 ist. Und das ist manchmal gar nicht so einfach:


Oder weiß man hier sofort ob dieser Ausdruck 0 ist oder nicht? 
Ein anderes Beispiel

Bei den reellen Zahlen (positive und negative) ist die Wurzel aus x so definiert daß das Quadrat davon wieder x ergibt. Man kann sich das im Bild ansehen

Hier sieht man daß zu einer positiven reellen Zahl auf der y-Achse zwei Lösungen mit diesen Eigenschaften existieren. Man könnte schreiben

Dabei ist die blaue Wurzel die eindeutig bestimmte Wurzel in den positiven reellen Zahlen und die schwarze Wurzel die verallgemeinerte Wurzel in den positiven und negativen reellen Zahlen. Genau genommen sind dies verschiedene Wurzeln die nur übereinstimmen wenn man alleine positive reelle Zahlen zugrundelegt. Damit schreibt sich das letzte Beispiel

Dies ist eine wahre Aussage aber man kann daraus NICHT schließen daß -4=+4  gilt. Wenn Peter, Jan, Hans, Elemente der Skatabend-Menge sind, so kann man aus Peter ist Element der Skatabend-Menge nicht schließen daß Peter=Hans ist.

Die Gleichheit bei der verallgemeinerten Wurzel bedeuted eine Gleichheit der Lösungsmengen.
Einfacher ist es bei x. Man kann sich das Schaubild ansehen. Es gibt für alle reellen Zahlen immer eine eindeutige Lösung für die Umkehrfunktion  

Anders ist es dagegen bei sin(x) bei der die Umkehrfunktion (bei einem y-Wert zwischen +1 und -1) eine Lösungsmenge von unendlich vielen Elementen besitzt. 

Daher weiß man schon was bei dem nächsten Beispiel falsch läuft 
(Wenn Peter, Jan, Hans, Elemente der Skatabend-Menge sind, so kann man aus Peter ist Element der Skatabend-Menge nicht schließen daß Peter=Hans ist)

Innerhalb der reellen Zahlen gibt es keine Lösung der Gleichung
x= -1
Also erweitert man die Zahlen indem man eine neue Zahl 
i
definiert für die 
i= -1
gesetzt wird. Man erhält die  komplexen Zahlen in der Form
K= a + b
.i               mit reellen Zahlen a und b 
Die Erweiterung der positiven Zahlen durch Hinzunahme der negativen Zahlen hat bei geometrischen Überlegungen und bei Längenberechnungen keine Bedeutung aber bei Geldberechnungen hat man es mit Guthaben und Schulden zu tun und die negativen Zahlen sind dafür unerläßlich. So haben auch die neu hinzugenommenen komplexen Zahlen ihre Berechtigung bei mathematischen und anderen wissenschaftlichen Überlegungen.
Die Umkehrfunktion  besitzt bei den komplexen Zahlen jetzt mehr als eine Lösung

Die Mehrdeutigkeit der Lösungen im Komplexen ist also stärker vorhanden als im Reellen und daher weiß man schon was bei den nächsten Beispielen falsch läuft 
(Wenn Peter, Jan, Hans, Elemente der Skatabend-Menge sind, so kann man aus Peter ist Element der Skatabend-Menge nicht schließen daß Peter=Hans ist)



Man kann sich über die Mehrdeutigkeit bei komplexen Zahlen eine bessere Übersicht verschaffen durch Umformung in die Polarform. 

Der Winkel    ist nur bis auf Vielfache von 2. bestimmt. Er ist ein Drehwinkel.
Bei  = /2  erfolgt eine Drehung um 90, ein Viertelkreis, von +1 zu i 
Bei  =   erfolgt eine Drehung um 180, ein Halbkreis, von +1 zu -1
Bei  = 3/2.  erfolgt eine Drehung um 270, ein Dreiviertelkreis, von +1 zu -i
Bei  = 2
.  erfolgt eine Drehung um 360, ein Vollkreis, von +1 zu +1
Bei  = 4
.  erfolgt eine Drehung um 720, zwei Vollkreise, von +1 zu +1

Die Lösungsmengen bestimmen sich durch
+n.2., wobei n eine ganze Zahl ist, also
+0. 2., +1.2., +2.2., +3.2., +4. 2., +5. 2. ..... 







 

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